两角差的余弦公式

两角差的余弦公式

【教学目标】

【知识与技能】

①了解两角差的余弦公式的推导；

②掌握两角差的余弦公式并能对公式进行初步的应用。

【过程与方法】

①经历大胆猜想---初步验证---理论证明---应用与拓展的数学化的过程让学生感受到知识的产生和发展；

②利用信息技术揭示单角的三角函数值与两角差的余弦值之间的关系，激发学生探究数学的积极性；

③培养学生获取数学知识、数学交流的能力；

  【情感态度价值观】

①使学生体会联想转化、数形结合、分类讨论的数学思想；

②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度。

【教学重点、难点】

重点： 两角差余弦公式的探索和初步应用。
难点：探索过程的组织和引导。
【教学手段】 用几何画板和powerpoint演示。
【教学流程】

创设问题情景，揭示课题

感知猜想

利用几何画板验证猜想

组织和引导学生共同合作探索公式

通过例题、练习，加强对公式的理解

回顾与反思

布置作业，引发其他公式的探究

【教学设计】

（一）创设问题情境，揭示课题
先让学生口答 的正弦余弦值，再提出  

问题1. 有什么关系？

（ ）

问题2.对于a、b、c

（让学生讨论，老师归纳其讨论结果，并指出不成立。因为

）

问题3.对于任意角α、β，
（设计意图：由特殊问题引发一般问题，唤起学生解决问题的意识，抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。）
（二）感性认知，提出猜想

问题：如何用任意角α和β的正弦、余弦值来表示cos（α－β）？

虽然 但学生自然猜想到它们之间有一定的等量关系，于是让学生凭借直觉，发挥想象，将sinα、sinβ、cosα、cosβ随意组合，构造出结果的表示形式。

（三）验证猜想

   借助几何画板，呈现猜想的式子，计算出cos（α－β）和各式子的值，发现当随意变换角度α和β时，总有cos（α－β）和

cosαcosβ+sinαsinβ的结果相等，所以猜测公式的形式可能是：

cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

（第一组验证）

（第二组验证）

（设计意图：使学生看到现代化信息技术对探讨数学问题的帮助，从而引导学生在今后的学习和工作中能重视现代信息技术的应用。）
（四）联想转化、探索论证

让学生加强新旧知识的联系，寻找已有知识点的理论支持，选定探讨方法，适时提问，逐步引导，层层推进。

问题(1)刚才的验证可靠吗？为什么？

（不可靠，它并不能代表一般性）

问题(2)对于任意的α和β,你如何证明上式恒成立呢？你联想到哪些相关知识？
1.根据学生的回答，先利用向量来证明。

问题（3）你是如何联想到向量？用向量证明得先做哪些准备？

问题（4）在图中选择哪些向量，它们如何表示？

问题（5）如何利用向量的运算构造出等式的左右两边？

问题（6）证明是否严密？若有，请你补充。
（设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。）

2.利用学生对旧知识的联想提出利用三角函数线来证明。

让学生研读教材，并提出相应的问题，拓宽学生的思维。

问题（1）如何构造三角函数线来证明公式？共2页，当前第1页12